Ormai da qualche anno nelle prove preselettive dei concorsi, soprattutto quelli ai quali possono partecipare anche i geologi, vengono inseriti dei quiz di verifica della capacità logico-deduttiva.
Questi quiz sono basati sui seguenti tipi di ragionamento logico:
- le deduzioni semplici e negazioni
- i sillogismi
- condizione sufficiente/necessaria/necessaria e sufficiente
In alcuni casi questi tre tipi sono inseriti in modo integrato in uno stesso quiz
Deduzioni semplici e negazioni
Deduzioni semplici
Le deduzioni semplici sono costituite da un solo passaggio logico. Esse scaturiscono da una o più preposizioni semplici o complesse. Un approccio standard per la risoluzione di questo tipo di quiz può essere quello di determinare uno schema logico.
Preposizioni semplici
ESEMPIO 1
Se è vero che “l’ozio è il padre dei vizi”, allora è necessariamente vero che
OPZIONI DI RISPOSTA
- L’oziare è pericoloso
- Non darsi da fare rende stolti
- Chi ozia non sarà vizioso
- Chi è operoso non correrà il rischio di generare vizi
Utilizzando un approccio rigoroso prendiamo l’affermazione sicuramente vera e diamoli una lettera, per esempio A. Quindi A (= l’ozio è il padre dei vizi)
Andiamo a cercare nelle possibili risposte quella in cui è contenuto lo stesso concetto. Analizziamo le varie opzioni:
- L’oziare (elemento presente anche in A) è pericoloso. Pur essendoci un elemento presente in A, questa opzione è da scartare perchè non viene specificato perchè è pericoloso e se questa azione possa portare (necessariamente) appunto al vizio
- Non darsi da fare (elemento presente anche in A poichè è posto come negazione – ossia oziare) rende stolti. Pur essendoci un elemento presente in A, questa opzione è da scartare perchè non viene specificata la relazione che c’è fra l’essere stolti ed il fatto di essere viziosi (anche se si conosce il senso dal punto di vista filosofico, in logica tutto deve essere chiaro e presente nelle affermazioni)
- Chi ozia non sarà vizioso. Questa opzione è da scartare perchè nega semplicemente A
- Chi è operoso non correrà il rischio di generare vizi. Questa è l’opzione corretta. E’ presente l’elemento A, infatti “Chi è operoso” è anche “Chi non ozia”. Quindi è presente l’elemento A. Inoltre se “il padre dei vizi è l’ozio”, allora è necessariamente vero che chi non è ozioso non rischia generare vizi perchè non ha come padre l’ozio. Quindi l’opzione 4 è quella corretta
Negazioni
Anche le negazioni sono preposizioni da cui scaturiscono deduzioni semplici. Anche in questo caso si utilizza un approccio rigoroso e schematico. Prendiamo l’affermazione sicuramente vera ed identifichiamola con una lettera, ad esempio A, se questa è una negazione poniamo come apice un segno meno, A–.
Bisogna tener presente che in logica
- due negazioni affermano:
A-(-) = A
- la negazione di tutti è equivalente a almeno uno non
- la negazione di nessuno è equivalente ad almeno uno
Distributive
Sono preposizioni introdotte da locuzioni come, per ogni … , per ciascun …, ad ogni … ecc. e completate da un’affermazione che indica esistenza.
(per ogni, … ) ∀a: (esiste, c’è, …) ∃b
dove a e b sono gli elementi che vengono messi in relazione dalla preposizione.
In logica valgono le seguenti relazioni:
- la negazione di ∀a : ∃b = ∃a : b–
ESEMPIO
Per ogni cane c’è un padrone
può essere schematizzato nel modo seguente
∀c : ∃p
dove c = cane e p = padrone
la negazione di questa affermazione sarà:
∃c : p–
Esiste (almeno un cane) per cui non c’è un padrone
- la negazione di ∃a : b = ∀a: b–
ESEMPIO
Esiste un pollo che suona
può essere schematizzato nel modo seguente
∃p : s
la negazione di questa affermazione sarà:
∀p : s–
Per ogni pollo non esiste uno che suona
- la negazione di ∀a : ∃b –> c = ∃a :∀b -> –c (vedi preposizioni complesse)
ESEMPIO
Ogni tirannia ha una classe che la favorisce
può essere schematizzato nel modo seguente
- ∀t : ∃c –> f
la negazione di questa affermazione sarà:
- ∃t :∀c -> –f
Esiste una tirannia per ogni classe che non la favorisce
Preposizioni complesse
Una preposizione complessa è composta da due predicati e quindi da due preposizioni a cui andranno assegnate due lettere diverse rispettando quindi un’impostazione schematica:
- A (sarà la prima preposizione)
- B (sarà la seconda preposizione)
Disgiuntive
La deduzione logica può scaturire da una preposizione complessa disgiuntiva, ossia le due preposizioni sono unite da una congiunzione disgiuntiva A o B:
- A o B (la cui negazione diventa A– e B–
Coordinate
Sono preposizioni unite da una congiunzione copulativa.
- A e B (la cui negazione diventa A–oppure B–) (ATTENZIONE)
Ipotetiche
Sono preposizioni introdotte dal se:
- se A allora B schematizzabile anche come A → B
- la negazione di A → B = A e B–
ESEMPIO
Se esco di casa è perchè ne ho voglia
Possiamo schematizzare così
esco di casa (A)
ho voglia (B)
A → B
La sua negazione sarà
- A e B–
Esco di casa e non ne ho voglia
I Sillogismi
Um sillogismo è costituito da DUE o PIU’ PREMESSE (P1, P2, .. P3) e da UNA CONCLUSIONE (C).
RISOLVERE un SILLOGISMO consiste nel DEFINIRE qual’è, date le premesse, la CONCLUSIONE CORRETTA.
Struttura di un sillogismo
P1 (PREMESSA MAGGIORE) + P2 (PREMESSA MINORE) = C (CONCLUSIONE)
oppure se vi sono più premesse ad es. P1, P2, P3
P1 (PREMESSA MAGGIORE) + P2 (PREMESSA MINORE) = CP (CONCLUSIONE PARZIALE)
la conclusione parziale (CP) diventa la premessa principale mentre la premessa con indice maggiore diventa la premessa minore
CP => P1 e P3 => P2
ELEMENTI DELLE PREMESSE
- TERMINE MEDIO (M)
- PREDICATO (PR)
- SOGGETTO DELLA CONCLUSIONE (S)
M si trova SEMPRE in ENTRAMBE le PREMESSE P1, P2 e MAI nella CONCLUSIONE (C)
PR si trova SOLO nella PREMESSA MAGGIORE (P1)
S si trova SOLO nella PREMESSA MINORE (P2)
TIPI DI PREMESSE
PU PREMESSA UNIVERSALE POSITIVA (inizia con TUTTI/OGNI/…)
PU (-) PREMESSA UNIVERSALE NEGATIVA (inizia con NESSUNO/NEMMENO UNO/…)
Pp PREMESSA PARTICOLARE POSITIVA (inizia con ALCUNI/CERTI …)
Pp (-) PREMESSA PARTICOLARE NEGATIVA (inizia con QUALCHE e si conclude con NON E’/HA/…
TIPI DI CONCLUSIONI
CU CONCLUSIONE UNIVERSALE POSITIVA (inizia con TUTTI/OGNI/…)
CU (-) CONCUSIONE UNIVERSALE NEGATIVA (inizia con NESSUNO/NEMMENO UNO/…)
Cp CONCLUSIONE PARTICOLARE POSITIVA (inizia con ALCUNI/CERTI …)
Cp (-) CONCLUSIONE PARTICOLARE NEGATIVA (inizia con QUALCHE e si conclude con NON E’/HA/…
REGOLE GENERALI
1) Se entrambe le premesse sono negative la conclusione è IMPOSSIBILE
2) Se entrambe le premesse sono particolari il sillogismo NON HA SOLUZIONE
3) Se una delle due premesse è negativa la conclusione è negativa
4) Se entrambe le premesse sono positive la conclusione è positiva
Passaggi da seguire per la risoluzione di un sillogismo
1) INDIVIDUARE IL TERMINE MEDIO (M)
– È quello che si ripete in entrambe le premesse
– NON DEVE ESSERE PRESENTE NELLA CONCLUSIONE
2) INDIVIDUARE IL PREDICATO (PR)
– È quello che si trova SOLO nella PREMESSA MAGGIORE (P1) ed è diverso dal termine medio (M)
– SARA’ IL PREDICATO DELLA CONCLUSIONE
3) INDIVIDUARE IL SOGGETTO (S)
– È quello che si trova SOLO nella PREMESSA MINORE (P2) ed è diverso dal termine medio
– SARA’ IL SOGGETTO DELLA CONCLUSIONE
4) INDIVIDUARE L’ASPETTO DEL SILLOGISMO
– Se nella P2, M compare dopo S, il tipo di sillogismo può essere di TIPO 1 o 2
– Se nella P2, M compare invece prima di S, il tipo di sillogismo può essere di TIPO 3 o 4
5) INDIVIDUARE IL TIPO DI PREMESSE
Riconoscere i tipi di premessa cominciando dalla P1 e poi dalla P2
6) INDIVIDUARE IL TIPO DI CONCLUSIONE
Determinare il tipo di conclusione scegliendo la colonna in cui il tipo di premesse corrispondono utilizzando la tabella oppure osservando le seguenti regole:
Nel TIPO 1 e 2 vale sempre la seguente regola per la formazione della conclusione:
Nella CONCLUSIONE PREVALE il SEGNO MENO e LA PARTICOLARITA’, ovvero se una delle due premesse ha il segno meno nella conclusione si mantiene il segno meno, questo vale anche per la particolarità.
Nel TIPO 3 e 4 vale sempre la seguente regola per la formazione della conclusione:
valgono le stesse regole viste per il TIPO 1 e 2, ma con un eccezione:
se due premesse sono UNIVERSALE-UNIVERSALE la conclusione sarà di tipo PARTICOLARE, eccetto che la P2 non sia NEGATIVA, allora segue la regola normale.
INOLTRE un sillogismo NON HA SOLUZIONE se possiede una particolare struttura (vedi apporfondimento)
I sillogismi possono essere sempre risolti attraverso la schematizzazione per insiemi, soprattutto quando le premesse sono numerose.
In questo caso è necessario rifarsi a questi schemi insiemistici:
- PU PREMESSA UNIVERSALE POSITIVA (inizia con TUTTI/OGNI/…)
Tutti gli elementi (bn) presenti in B sono contenuti in A
B ⊂ A
PU (-) PREMESSA UNIVERSALE NEGATIVA (inizia con NESSUNO/NEMMENO UNO/…)
Nessun elemento (bn) presente in B è contenuto in A
B⊄A
Pp PREMESSA PARTICOLARE POSITIVA (inizia con ALCUNI/CERTI …)
B∩A
Alcuni elementi (bn) di B sono comuni anche a A
Pp (-) PREMESSA PARTICOLARE NEGATIVA (inizia con QUALCHE e si conclude con NON E’/HA/…
Qualche elemento di B non è comune anche ad A
A-B
Condizione necessaria e sufficiente
Per verificare la capacità logico deduttiva di un candidato nelle prove preselettive dei concorsi vengono inseriti alcuni quiz in cui bisogna saper individuare, all’interno di proposizione composta determinate condizioni. Si possono avere tre tipi di condizioni:
Condizione sufficiente
La condizione sufficiente è costituita da un ipotesi in genere contenuta nella principale o nella prima frase e da una tesi
Struttura
La struttura della preposizione composta è del tipo:
A± → B± (se A allora B)
per verificarsi della condizione B è SUFFICIENTE che la condizione A si verifichi.
si possono avere tre tipi di situazioni:
CASO 1- A → B (se A allora B)
In questo caso A e B sono preposizioni positive
ESEMPIO
Se Enzo va allo stadio allora Maria va al cinema con le amiche
Schematizziamo le preposizioni/condizioni
Se Enzo va allo stadio (A)
allora (→) Maria va al cinema con le amiche (B)
E’ possibie dedurre che:
se B– →A– (se non B allora non A)
Se Maria non va al cinema con le amiche (B–) allora Enzo non va allo stadio (B–)
CASO 2 – A– → B (se non A allora B)
ESEMPIO
Se Enzo non va allo stadio Maria rimane a casa
Schematizziamo le preposizioni/condizioni
Se Enzo non va allo stadio (A)
allora (→) Maria rimane a casa (B)
E’ possibie dedurre che:
B–→ [A–]– (se non B allora non non A)
ossia
Se Maria non rimane a casa (B–) allora Enzo non non va allo stadio ( [A–]– )
e poichè [A–]– = A
la deduzione diventa:
se B–→ A (se non B allora A)
Se Maria non rimane (B–) a casa allora Enzo va allo stadio (A)
CASO 3 – A → B– (se A allora non B)
Se Enzo va allo stadio Maria non rimane a casa
Schematizziamo le preposizioni/condizioni
Se Enzo va allo stadio (A)
allora (→) Maria non rimane a casa (B–)
E’ possibile dedurre che:
[B–]–→ A– (se non B allora non non A)
ossia
Se Maria non non rimane a casa ([B-]-) allora Enzo non va allo stadio (A–)
e poichè [B–]– = B
la deduzione diventa:
se B → A– (se non B allora A)
Se Maria non rimane (B–) a casa allora Enzo va allo stadio (A)
CASO 4 – A– → B– (se non A allora B)
ESEMPIO
Se Enzo non va allo stadio allora Maria non va al cinema con le amiche
Si può schematizzare ne modo seguente:
Se Enzo non va allo stadio (A– )
allora (→) Maria non va al cinema con le amiche (B– ).
E’ possibie dedurre che:
[B–]– → [A–]–(se non B allora non A)
Se Maria non non va al cinema con le amiche allora Enzo non non va allo stadio.
e poichè [B–]– = B e [A–]– = A
la deduzione diventa:
se B → A (se B allora A) (vedi condizione necessaria)
Se Maria va al cinema con le amiche (B) allora Enzo va allo stadio (A)
Condizione necessaria
La condizione necessaria è costituita da un ipotesi in genere contenuta nella principale o nella prima frase e da una tesi
Struttura per la condizione necessaria
La struttura della preposizione composta è del tipo:
A± ← B± (solo se A allora B)
perchè la condizione B si verifichi è NECESSARIO che la condizione A si verifichi.
si possono avere tre tipi di situazioni:
CASO 1- A ← B (solo se B allora A)
In questo caso A e B sono preposizioni positive
A ← B = B → A
ESEMPIO
Solo se vengono annaffiate ogni giorno allora le piante tropicali crescono rigogliose
Schematizziamo le preposizioni/condizioni
Solo se vengono annaffiate ogni giorno (A)
allora (← ) le piante tropicali crescono rigogliose (B)
E’ possibie dedurre che:
se A– → B– (se non A allora non B)
Se le piante tropicali non vengono annaffiate ogni giorno non crescono rigogliose.
CASO 2 – A– ← B (solo se non A allora B)
ESEMPIO
Solo se non vengono annaffiate ogni giorno allora le piante grasse crescono rigogliose
Schematizziamo le preposizioni/condizioni
Solo se non vengono annaffiate ogni giorno (A–)
allora (→) le piante grasse crescono rigogliose (B)
E’ possibie dedurre che:
[A–]– → B– se non non A allora non A
ossia
Se non non vengono annaffiate ogni giorno [A–]– le piante grasse non crescono rigogliose (B–)
e poichè [A–]– = A
la deduzione diventa:
se A→ B– (se A allora non B)
Se vengono annaffiate ogni giorno (A) le piante grasse non crescono rigogliose (B–)
CASO 3 – A ← B– (solo se A allora non B)
Solo se vengono annaffiate ogni giorno allora le piante grasse non crescono rigogliose
Schematizziamo le preposizioni/condizioni
Solo se vengono annaffiate ogni giorno (A)
allora (←) le piante grasse non crescono rigogliose (B–)
E’ possibie dedurre che:
A–→ [B–]–(se non A allora non non B)
ossia
Se non vengono annaffiate ogni giorno allora le piante grasse non non crescono rigogliose
e poichè [B–]– = B
la deduzione diventa:
A–→ B (se non A allora B)
Se non vengono annaffiate ogni giorno (A–) allora le piante grasse crescono rigogliose
CASO 4 – CASO 3 – A– ← B– (solo se non A allora non B)
ESEMPIO
Solo se non vengono annaffiate ogni giorno, allora le piante tropicali non crescono rigogliose.
Si può schematizzare ne modo seguente:
Solo se non vengono annaffiate ogni giorno (A– )
allora (→) le piante tropicali non crescono rigogliose (B–).
E’ possibie dedurre che:
[A–]– → [B–]–(se non non B allora non non A)
Solo se non non vengono annaffiate ogni giorno (A– )
allora (→) le piante tropicali non non crescono rigogliose (B–).
e poichè [A–]– = A e [B–]– = B
la deduzione diventa:
A → B (se A allora non B)
Se vengono annaffiate ogni giorno (A) allora le piante tropicali crescono rigogliose (B).
Condizione necessaria e sufficiente
Anche la condizione necessaria e sufficiente è costituita da un ipotesi in genere introdotta da se e solo se.
Struttura per la condizione necessaria e sufficiente
La struttura della preposizione composta è del tipo:
A± ↔ B± (se e solo se A allora B)
perchè la condizione B si verifichi è NECESSARIO ma anche SUFFICIENTE che la condizione A si verifichi. Pertanto valgono le seguenti deduzioni già viste per i casi precedenti:
A± → B±
A± ← B±
ESEMPIO
Se e solo se vengono annaffiate ogni giorno le piante tropicali crescono rigogliose
Le deduzioni principali sono due:
Se le piante tropicali non crescono rigogliose allora non vengono inaffiate ogni giorno
Se le piante non vengono innaffiate ogni giorno le piante tropicali non crescono rigogliose
