Indicatori statistici

Utilizzeremo sempre una notazione semplificata

Indicatori di posizione

MEDIA

Media aritmetica (M)

M = (1/n) Σe

dove

e (valore di ogni dato in ogni evento)
n (numero dei dati, ovvero numero di eventi)
Σ (simbolo di sommatoria)

Media ponderata (Mp)

Mp = Σ e·p / Σ p

e (valore di ogni dato in ogni evento)
p (peso relativo al valore di ogni dato)

Media geometrica Mg

Mg =n Π e

dove e (valore di ogni dato in ogni evento)
n (numero dei dati, ovvero numero di eventi)
Π (simbolo di produttoria)

Es. Dati i valori 1,3,5,7 calcoliamo la media geometrica;
i valori sono quattro, quindi n = 4
il prodotto fra i valori di ogni dato (ossia Π e) sarà:

Π e = 1·3·5·7 = 105

otteniamo quindi:

Mg =4 105 = 3.201


Relazione fra M e Mg

M ≥ Mg

Media armonica (Mh)

Mh = n/[Σ (1/e)]

Mediana (Me)

CASO I – Dati in numero dispari

E’ il dato che occupa la posizione centrale

individua la posizione del valore della mediana = (N+1)/2

dove N è il totale delle posizioni dei dati rilevati

Esempio

Rileviamo le altezze di 11 giocatori. Ordinando i valori delle altezze in ordine crescente  individuiamo la posizione del valore della mediana mediante la formula:

(individua la posizione del valore della mediana) = (N+1)/2 = (11+1)/2 = 6a posizione

Il valore della mediana sarà in sesta posizione.

CASO II – Dati in numero pari

E’ data dalla semisomma dei due valori (c1, c2) che occupano la posizione centrale (nc1, nc2), che si individuano nel seguente modo:

N/2 = nc1 ; N/2 + 1 = nc2

dove N è il totale delle posizioni dei dati rilevati e ed nc1 il numero di posizione che occupa il valore centrale 1 ed nc2 il numero di posizione che occupa il valore centrale 2

Me = (c1+c2)/2

dove c1 è il valore del dato che occupa la posizione 1 (nc1) e c2 è il valore del dato che occupa la posizione 2 (nc2)

Esempio

Rileviamo le altezze in metri di 10 giocatori di basket:

1,98 ; 2,03 ; 1.90; 1,99; 2,05; 2,01; 1,96; 2,10; 1,95; 1,99;

N=10

Ordinando i valori delle altezze in ordine decrescente individuiamo la posizione del valore della mediana:

2,10; 2,05; 2,01;  2,03; 1,99; 1,99; 1,98; 1,96; 1,95; 1.90

Individuiamo i valori di nc1 ed nc2

N/2 = nc1       10/2 = 5           ⇒  nc1= 5

N/2 + 1= nc  (10/2)+1 = 6  ⇒  nc2 = 6

I valori che dobbiamo prendere per calcolare la mediana sono in quinta (nc1) e sesta posizione (nc2)

c1 = 1,98 ;  c2 = 1,98

Calcoliamo ora la mediana con la formula

Me = (c1+c2)/2

Quindi  Il valore della mediana sarà:

Me = ( 1,98 + 1,98)/2 = 1,98


Media integrale (Mi)


MODA

E’ il valore che si ripete con più frequenza

Basterà quindi contare i valori uguali. La moda sarà data da quel valore che avrà il conteggio più alto.

Per il conteggio conviene sempre prima ordinare i valori in ordine crescente/decrescente.


Indicatori di dispersione

CAMPO o INTERVALLO DI VARIAZIONE (Δ)

Δx = xmax – xmin

dove Δx è il campo di variazione dei valori x

xmax è il valore massimo fra i valori di xmin è il valore minimo fra i valori di x

Per individuare xmax e  xmin gio conviene sempre prima ordinare i valori in ordine decrescente.

SCARTO o INTERVALLO INTERQUARTILE (IQR)

IQR = Iq3 – Iq1 

dove Iq1 (primo interquartile);  Iq3 (terzo interquartile)

VARIANZA (VAR)

VAR = (1/n) ∑i (ei-M)2

dove ei (è il valore di ogni n)
dove n è la somma del numero dei dati (o elementi), ovvero dal numero degli eventi

SCARTO QUADRATICO MEDIO (o DEVIAZIONE STANDARD) (σx)

σx = VAR = (1/n) ∑i (ei-M)2

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE (σx*)

x*) = σx / M  

ESEMPIO

Dobbaimo calcolare la deviazione standard dei seguenti valori:
10,14,7,4,5,2

1) Calcoliamo la media aritmetica (M)

M = (1/n) Σe

Σe = 10+14+7+6+5+2 = 42

M = 42/6 =7

2) Calcoliamo ora la varianza (VAR)

VAR = (1/n) i(ei-M)2

e1= 10, e2=14, e3=7, e4=4, e5= 5, e6=2

n = 7

inseriamo nella formula anche la media aritmetica calcolata M

VAR = (1/n) ∑i(ei-M)2 = 1/6 · [(10-7)2 + (14-7)2 + (7-7)2 + (4-7)2 + (5-7)2 + (2-7)2 ] = 1/6 · (96) =16

3) La deviazione standard (σx) sarà data da

σx = VAR = 16 = 4            ⇒ σx = 4

4) Il coefficiente di variazione  èx)

x*) = σx / M


 

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